一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分。每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的，答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分。

1．（4分）（2013•莆田）2013的相反数是（　　）

A． 2013 B． ﹣2013 C． D． ﹣

考点： 相反数．

分析： 直接根据相反数的定义求解．

解答： 解：2013的相反数为﹣2013．

故选B．

点评： 本题考查了相反数：a的相反数为﹣a．

2．（4分）（2013•莆田）下列运算正确的是（　　）

A． （a+b）2=a2+b2 B． 3a2﹣2a2=a2 C． ﹣2（a﹣1）=﹣2a﹣1 D． a6÷a3=a2

考点： 完全平方公式；合并同类项；去括号与添括号；同底数幂的除法．

专题： 计算题

分析： A、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；

B、原式合并得到结果，即可作出判断；

C、原式去括号得到结果，即可作出判断；

D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断．

解答： 解：A、原式=a2+2ab+b2，本选项错误；

B、3a2﹣2a2=a2，本选项正确；

C、﹣2（a﹣1）=﹣2a+2，本选项错误；

D、a6÷a3=a3，本选项错误，

故选B

点评： 此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，以及同底数幂的除法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

3．（4分）（2013•莆田）对于一组统计数据：2，4，4，5，6，9．下列说法错误的是（　　）

A． 众数是4 B． 中位数是5 C． 极差是7 D． 平均数是5

考点： 极差；加权平均数；中位数；众数

分析： 根据平均数、众数、中位数和极差的定义分别进行计算，即可求出答案．

解答： 解：4出现了2次，出现的次数最多，

则众数是4；

共有6个数，中位数是第3，4个数的平均数，

则中位数是（4+5）÷2=4.5；

极差是9﹣2=7；

平均数是：（2+4+4+5+6+9）÷6=5；

故选B．

点评： 此题考查了平均数、众数、中位数和极差，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．

4．（4分）（2013•莆田）如图，一次函数y=（m﹣2）x﹣1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（　　）

A． m＞0 B． m＜0 C． m＞2 D． m＜2

考点： 一次函数图象与系数的关系．

分析： 根据一次函数图象所在的象限得到不等式m﹣2＜0，据此可以求得m的取值范围．

解答： 解：如图，∵一次函数y=（m﹣2）x﹣1的图象经过二、三、四象限，

∴m﹣2＜0，

解得，m＜2．

故选D．

点评： 本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．

5．（4分）（2013•莆田）如图是一个圆柱和一个长方体的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图可能是（　　）

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 找到从上面看所得到的图形即可．

解答： 解：从上面可看到一个长方形里有一个圆．

故选C．

点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

6．（4分）（2013•莆田）如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）

A． 55° B． 70° C． 125° D． 145°

考点： 旋转的性质．

分析： 根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB′，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB′即为旋转角．

解答： 解：∵∠B=35°，∠C=90°，

∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°，

∵点C、A、B1在同一条直线上，

∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°，

∴旋转角等于125°．

故选C．

点评： 本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键．

7．（4分）（2013•莆田）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OBC的度数为（　　）

A． 40° B． 50° C． 80° D． 100°

考点： 圆周角定理．

分析： 连接OC，利用圆周角定理即可求得∠BOC的度数，然后利用等腰三角形的性质即可求得．

解答： 解：连接OC．

则∠BOC=2∠A=100°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB==40°．

故选A．

点评： 本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键．

8．（4分）（2013•莆田）下列四组图形中，一定相似的是（　　）

A． 正方形与矩形 B． 正方形与菱形

C． 菱形与菱形 D． 正五边形与正五边形

考点： 相似图形．

分析： 根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．

解答： 解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；

B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；

C、菱形与菱形，对应边不值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；

D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．

故选：D．

点评： 本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．

二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分）

9．（4分）（2013•莆田）不等式2x﹣4＜0的解集是　x＜2　．

考点： 解一元一次不等式．

专题： 计算题．

分析： 利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加4再除以2，不等号的方向不变．

解答： 解：不等式2x﹣4＜0移项得，

2x＜4，

系数化1得，

x＜2．

点评： 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．

解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

10．（4分）（2013•莆田）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦”，搜索到相关的结果个数约为8650000，将这个数用科学记数法表示为　8.65×106　．

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：8 650 000=8.65×106，

故答案为：8.65×106．

点评： 此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

11．（4分）（2013•莆田）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件　AB=DE　，使△ABC≌△DEF．

考点： 全等三角形的判定．

专题： 开放型．

分析： 可选择利用AAS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可．

解答： 解：添加AB=DE．

∵BE=CF，

∴BC=EF，

∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEF，

∵在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

故答案可为：AB=DE．

点评： 本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定定理．

12．（4分）（2013•莆田）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为　　．

考点： 互余两角三角函数的关系．

分析： 根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5，斜边AB为13，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tnaB．

解答： 解：

∵sinA=，

∴设BC=5，AB=13，

则AC==12，

故tanB==．

故答案为：．

点评： 本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．

13．（4分）（2013•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是　10　．

考点： 勾股定理．

分析： 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．

解答： 解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，

即S3=2+5+1+2=10．

故答案是：10．

点评： 本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．

14．（4分）（2013•莆田）经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同，则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为　　．

考点： 可能性的大小．

分析： 列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．

解答： 解：画树状图得出：

∴一共有4种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，

∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是：．

故答案为：．

点评： 本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

15．（4分）（2013•莆田）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为　5　．

考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．

分析： 要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．

解答： 解：如图，连接BP，

∵点B和点D关于直线AC对称，

∴QB=QD，

则BP就是DQ+PQ的最小值，

∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，

∴CP=3，

∴BP==5，

∴DQ+PQ的最小值是5．

故答案为：5．

点评： 此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出DQ+PQ的最小时Q点位置是解题关键．

16．（4分）（2013•莆田）统计学规定：某次测量得到n个结果x1，x2，…，xn．当函数y=++…+取最小值时，对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8．则这次测量的“最佳近似值”为　10.1　．

考点： 方差．

专题： 新定义．

分析： 根据题意可知“量佳近似值”x是与其他近似值比较，根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近，求出x是所有数字的平均数即可．

解答： 解：根据题意得：

x=（9.8+10.1+10.5+10.3+9.8）÷5=10.1；

故答案为：10.1．

点评： 此题考查了一组数据的方差、平均数，掌握新定义的概念和平均数的平方和最小时要满足的条件是解题的关键．

三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（8分）（2013•莆田）计算：+|﹣3|﹣（π﹣2013）0．

考点： 实数的运算；零指数幂．

专题： 计算题．

分析： 本题涉及零指数幂、平方根、绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答： 解：原式=2+3﹣1=4．

点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、平方根、绝对值等考点的运算．

18．（8分）（2013•莆田）先化简，再求值：，其中a=3．

考点： 分式的化简求值．

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．

解答： 解：原式=•=，

当a=3时，原式==2．

点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

19．（8分）（2013•莆田）莆田素有“文献名邦”之称，某校就同学们对“莆田历史文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果制成如图所示的两幅统计图：

根据统计图的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查　60　名学生；

（2）条形统计图中m=　18　；

（3）若该校共有学生1000名，则该校约有　200　名学生不了解“莆仙历史文化”．

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析： （1）根据了解很少的有24人，占40%，即可求得总人数；

（2）利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得；

（3）利用1000乘以不了解“莆仙历史文化”的人所占的比例即可求解．

解答： 解：（1）调查的总人数是：24÷40%=60（人），

故答案是：60；

（2）m=60﹣12﹣24﹣6=18，故答案是：18；

（3）不了解“莆仙历史文化”的人数是：1000×=200．

故答案是：200．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20．（8分）（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．

如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；

（2）求出线段AD的长．

考点： 黄金分割．

分析： （1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．

（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．

解答： 解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，

∴AD=BD，BC=BD，

∴△ABC∽△BDC，

∴=，即=，

∴AD2=AC•CD．

∴点D是线段AC的黄金分割点．

（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，

∴AD=AC=．

点评： 本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．

21．（8分）（2013•莆田）如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．

（1）求证：△AED≌△DCA；

（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．

考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算．

分析： （1）由四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，易证得四边形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可证得：△AED≌△DCA；

（2）由DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，可求得∠EAD的度数，继而求得∠BAE的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD∥BC，

∴四边形AECD是梯形，

∵AB=AE，

∴AE=CD，

∴四边形AECD是等腰梯形，

∴AC=DE，

在△AED和△DCA中，

，

∴△AED≌△DCA（SSS）；

（2）解：∵DE平分∠ADC，

∴∠ADC=2∠ADE，

∵四边形AECD是等腰梯形，

∴∠DAE=∠ADC=2∠AED，

∵DE与⊙A相切于点E，

∴AE⊥DE，

即∠AED=90°，

∴∠ADE=30°，

∴∠DAE=60°，

∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°，

∵四边形ACD是平行四边形，

∴∠BAD=∠DCE=120°，

∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°，

∴S阴影=×π×22=π．

点评： 此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

22．（10分）（2013•莆田）如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数y=的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求AN•BM的值．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

专题： 计算题．

分析： （1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对于y与x的值，确定出OA与OB的值，进而C的坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；

（2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，根据P在反比例解析式上，设出P坐标得出ND的长，根据三角形AND为等腰直角三角形表示出AN与BM的长，即可求出所求式子的值．

解答： 解：（1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，

对于一次函数y=x+1，令x=0，求得：y=1；令y=0，求得：x=﹣1，

∴OA=OB=1，

∴C（﹣1，1），

将C（﹣1，1）代入y=得：1=，即k=﹣1，

则反比例函数解析式为y=﹣；

（2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，

设P（a，﹣），可得ND=﹣，ME=|a|=﹣a，

∵△AND和△BME为等腰直角三角形，

∴AN=×（﹣）=﹣，BM=﹣a，

则AN•BM=﹣•（﹣a）=2．

点评： 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

23．（10分）（2013•莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°．设AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面积为S米2．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米2，黄色花草的价格为40元/米2．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？

考点： 二次函数的应用；菱形的性质；矩形的性质．

专题： 应用题．

分析： （1）连接AC、BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF为等边三角形，从而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，这样即可得出S与x的函数关系式．

（2）根据（1）的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W关于x的二次函数关系式，利用配方法求最值即可．

解答： 解：（1）连接AC、BD，

∵花坛为轴对称图形，

∴EH∥BD，EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC、△BEF是等边三角形，

∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x，

在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，

则EM=AEcos∠AEM=x，

∴EH=2EM=x，

故可得S=（4﹣x）×x=﹣x2+4x．

（2）易求得菱形ABCD的面积为8cm2，

由（1）得，矩形ABCD的面积为x2，则可得四个三角形的面积为（8+x2﹣4x），

设总费用为W，

则W=20（﹣x2+4x）+40（8+x2﹣4x）

=20x2﹣80x+320

=20（x﹣2）2+240，

∵0＜x＜4，

∴当x=2时，W取得最小，W最小=240元．

即当x为2时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为240元．

点评： 本题考查了二次函数的应用，首先需要根据花坛为轴对称图形，得出EH∥BD，EF∥AC，重点在于分别得出EF、EH关于x的表达式，另外要掌握配方法求二次函数最值的应用．

24．（12分）（2013•莆田）如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；

（2）若△ACD的面积为3．

①求抛物线的解析式；

②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是﹣3和1，设抛物线解析式的交点式y=a（x+3）（x﹣1），再配方为顶点式，可确定顶点坐标；

（2）①设AC与抛物线对称轴的交点为E，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，求出点E的坐标，即可得到DE的长，然后由S△ACD=×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可确定抛物线的解析式；

②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函数求出tan∠DAC=．设y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4向右平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+m）2+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．根据正切函数的定义求出OF=1．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）如图2①，F点的坐标为（0，1），（Ⅱ）如图2②，F点的坐标为（0，﹣1）．针对这两种情况，都可以先求出点P的坐标，再得出m的值，进而求出平移后抛物线的解析式．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），

∴抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1）=ax2+2ax﹣3a，

∵y=a（x+3）（x﹣1）=a（x2+2x﹣3）=a（x+1）2﹣4a，

∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；

（2）如图1，①设AC与抛物线对称轴的交点为E．

∵抛物线y=ax2+2ax﹣3a与y轴交于点C，

∴C点坐标为（0，﹣3a）．

设直线AC的解析式为：y=kx+t，

则：，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y=﹣ax﹣3a，

∴点E的坐标为：（﹣1，﹣2a），

∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a，

∴S△ACD=S△CDE+S△ADE=×DE×OA=×（﹣2a）×3=﹣3a，

∴﹣3a=3，解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；

②∵y=﹣x2﹣2x+3，

∴顶点D的坐标为（﹣1，4），C（0，3），

∵A（﹣3，0），

∴AD2=（﹣1+3）2+（4﹣0）2=20，CD2=（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2=2，AC2=（0+3）2+（3﹣0）2=18，

∴AD2=CD2+AC2，

∴∠ACD=90°，

∴tan∠DAC===，

∵∠PAB=∠DAC，

∴tan∠PAB=tan∠DAC=．

如图2，设y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4向右平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+m）2+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．

∵tan∠PAB===，

∴OF=1，则F点的坐标为（0，1）或（0，﹣1）．

分两种情况：

（Ⅰ）如图2①，当F点的坐标为（0，1）时，易求直线AF的解析式为y=x+1，

由，解得，（舍去），

∴P点坐标为（，），

将P点坐标（，）代入y=﹣（x+m）2+4，

得=﹣（+m）2+4，

解得m1=﹣，m2=1（舍去），

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2+4；

（Ⅱ）如图2②，当F点的坐标为（0，﹣1）时，易求直线AF的解析式为y=﹣x﹣1，

由，解得，（舍去），

∴P点坐标为（，﹣），

将P点坐标（，﹣）代入y=﹣（x+m）2+4，

得﹣=﹣（+m）2+4，

解得m1=﹣，m2=1（舍去），

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2+4；

综上可知，平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2+4或y=﹣（x﹣）2+4．

点评： 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，三角函数的定义，三角形的面积、两函数交点坐标的求法，函数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用．

25．（14分）（2013•莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．

（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；

（2）拓展探究：若AC≠BC．

①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；

②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

考点： 相似形综合题．

分析： （1）如答图1，连接CD，证明△AND≌△CDM，可得DM=DN；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF；

（2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．证法二提供另外一种证明方法，可以参考；

②若BD=kAD，证明思路与①类似；证法二提供另外一种证明方法，可以参考．

解答： （1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，

如答图1所示，连接OD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．

在△AND与△CDM中，

∴△AND≌△CDM（ASA），

∴DM=DN．

∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，

∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，

在△NED与△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），

∴NE=DF．

∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．

（2）①答：AE=DF．

证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD，

∴，即MF•EN=DE•DF．

同理△AEN∽△MFB，

∴，即MF•EN=AE•BF．

∴DE•DF=AE•BF，

∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF），

∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．

证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

∵D为AB中点，

∴DQ=PC=PB．

易证△DMF∽△NDE，∴，

易证△DMP∽△DNQ，∴，

∴；

易证△AEN∽△DPB，∴，

∴，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．

证法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF，

∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF﹣BD）

∴AD•DF=AE•BD

∵BD=kAD

∴DF=kAE．

证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

易证△AQD∽△DPB，得，即PB=kDQ．

由①同理可得：，

∴；

又∵，

∴，

∴DF=kAE．

点评： 本题是几何探究与证明综合题，考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质．题中三个结论之间逐级递进，体现了从特殊到一般的数学思想．